Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
А если стороны не равны, то, разбивая прямоугольник на квадратные клетки, получим разное количество клеток в строчке и в
столбике. В таком случае невозможно добиться равенства сумм
по всем строчкам и столбцам одновременно. Ослабим требования, назовем магическим прямоугольник, у которого суммы
чисел по всем строчкам равны между собой и отдельно равны
между собой суммы чисел по всем столбцам, т.е. у прямоугольника будет две магические суммы, одна для строчек, другая для
столбцов.
Назвать - назвали, а можно ли его построить?
|
|
Начнем проверку с прямоугольника 2x3 (2 строчки,
3 столбика). Сумма чисел 1+2+3+4+5+6=21, делится
на 3, но не делится на 2, а значит, эти числа нельзя
распределить по двум строчкам так, чтобы сумма чисел была одинаковой. |
 |
Продолжим поиск. Прямоугольник 2x4 должен содержать
числа от 1 до 8. Сумма 1+2+...+8=36, делится и на количество
строчек, и на количество столбиков. Разбив числа на пары с одинаковой суммой, легко получаем магический прямоугольник 2x4.
Можно сделать первые выводы. Необходимое условие его
существования - сумма расставляемых чисел должна делиться и
на количество строчек, и на количество столбиков.
Кроме того, отношение сумм
по строчкам и по столбикам равно
отношению количества столбиков к
количеству строчек.
Перейдем к размеру 3x4. 5=1 +2+...+12=78 не делится на 4,
пролетаем не задерживаясь к размеру 3x5. 1+2+...+15=120, делится и на 3, и на 5, прямоугольник возможен.
|
Ставим задачу в общем виде. Числа от 1 до пк требуется
разместить в прямоугольнике из n строк и k столбцов так, чтобы
образовались две магические суммы: S1=(1+nk)k/2 для каждой
строчки и S2=(l+nk)n/2 для каждого столбца, тогда этот прямоугольник будем называть магическим. Необходимое условие для
построения такого прямоугольника выяснено, существование
доказано двумя примерами, дальнейшее в ваших руках.
|
