Занимательные задачи по математике

Передвинем квадрат параллельно одной из его сторон так, чтобы он коснулся своей вершиной полосы (см. рис.). Тогда углы между отрезками, указанными в задаче, у этих двух квадратов равны, так как один из них останется на месте, а второй параллельно передвинется. Проведем высоту полосы из вершины сдвинутого квадрата. Тогда часть квадрата внутри полосы разобьется высотой и ранее проведенными отрезками на две пары равных треугольников. Сумма углов этих треугольников при рассматриваемой вершине равна 90*, поэтому угол между проведенными отрезками равен 45*. Отсюда следует, что и в первоначальном квадрате угол между проведенными отрезками равен 45*.

Скрыть решение

Ответ: 6 дней. Чтобы показать, что семи дней не может быть, нанесем на прямой точки, соответствующие рассматриваемым дням, и соединим стрелками те дни, про которые известно, что в один из этих дней (там стрелка начинается) Мюнхгаузен убил меньше уток, чем в другой (там стрелка заканчивается). Получим то, что изображено на рисунке. Поскольку цепочка стрелочек замкнулась, то предположение о том, что Мюнхгаузен мог говорить свою фразу 7 дней, привело к противоречию. Если рассмотреть лишь 6 дней, откинув на рисунке красные стрелки, то легко построить график результатов охоты барона, удовлетворяющий условиям задачи: 31 июля была убита 1 утка, 2 августа — 2,4 августа — 3,6 августа — 4,30 июля — 5, 1 августа — 6, 3 августа — 7 и 5 августа—8, а во все дни, предшествующие 30 июля, Мюнхгаузен убивал, скажем, по 1991 утке.

Скрыть решение

Кроме цифры 3, другой быть не может. Ключом к решению этой задачи служит простое замечание, что 2^n • 5^n = 10^n, т.е. число, начинающееся с цифр 100... Рассмотрим последовательно все возможные начальные цифры. Если 2 и 5 начинаются с цифры 1, то первая цифра их произведения может быть единицей, но все остальные не могут при этом быть 0. Если первая цифра 2, то первой цифрой произведения может быть только 4. 5, 6, 7 или 8. Если первая цифра 4, то хотя произведение может начинаться на 1, но вторая цифра не может быть 0. При первой цифре 5 первая цифра произведения будет 2 или 3, при первой цифре 6 первая цифра произведения будет 3 или 4. Если первая цифра 7, то первая цифра произведения будет 4,5 или 6. Для восьмерки первая цифра произведения может быть шестеркой, семеркой или восьмеркой, а для девятки — лишь восьмеркой или девяткой.

Скрыть решение

Если число р делится на 3, то выигрывает второй, а если нет, то первый. Если р делится на 3, то стратегия второго игрока, приводящая к выигрышу, такова: после хода первого игрока второй пишет цифру, которая в сумме с цифрой, написанной перед этим первым игроком давала бы число, имеющее остаток 6 при делении на 9: после 6 второй пишет цифру 9, после 7 — цифру 8, после 8 — цифру 7, после 9 — цифру 6. Если число р имеет при делении на 3 в остатке 1, то первый своим ходом ставит цифру, отличную от 9, а дальше придерживается вышеописанной стратегии: пишет цифру, которая в сумме с цифрой, поставленной перед вторым игроком, дает в остатке 6. При такой игре сумма всех цифр, кроме первой и последней, делится на 9, но первая цифра отлична от 9, поэтому из имеющихся в распоряжении цифр нельзя поставить такую, чтобы число делилось на 9. Если число при делении на 3 имеет в остатке 2, то своим первым ходом начинающий ставит 9. После каждого хода второго игрока, кроме последнего своего хода, он играет так же, как и в предыдущем случае. Если своим предпоследним ходом второй ставит 9, то первый вслед за этим ставит цифру, отличную от 9, а если второй ставит цифру, отличную от 9, то первый ставит 9. При такой игре первого сумма всех цифр, кроме трех последних, делится на 9. Среди трех последних цифр найдется обязательно одна 9 и одна цифра, отличная-от 9, значит, все число не делится на 9.

Скрыть решение

Чтобы ответить на этот вопрос, проще всего взять 2 календарика на обычный год и на високосный и посмотреть, сколько раз каждый из дней недели бывает по 5 раз в месяц. Так, в календаре на 1994 г. лишь суббота была по 5 раз в 5 месяцах, а остальные дни недели бывали по 5 раз лишь в 4-х месяцах. В високосный год, например в 1992, уже 2 дня недели — среда и четверг были по 5 раз в 5-ти месяцах, а остальные — в 4-х месяцах. Отсюда нетрудно вывести, что 5 пятниц может иметь не более 5-ти месяцев в году. Этот результат можно получить гораздо проще, если заметить, что в месяце по 5 раз встречаются только те дни недели, которыми начинается и заканчивается месяц. В месяцах с 30-ю днями — это первые 2 дня, они же и последние, в месяцах с 31 -м днем это последние и первые 3 дня. В феврале таких дней нет в обычном году, а в високосном — 1. В году таких дней будет 7 • 3 + 4 • 2 = 29, если год обычный, и 30, если год високосный. Но сколько среди них будет понедельников, пятниц? Любопытно, что они идут подряд, а именно, если в некотором месяце, скажем, было по 5 понедельников, вторников и сред, то в следующем будет по 5 четвергов и пятниц. Объясняется это уже отмеченным фактом расположения таких дней недели в начале и конце месяца. Теперь нетрудно понять, что в том случае, если год начинается пятницей, то он и кончается пятницей и 5 его месяцев имеют по 5 пятниц. Это касается обычного года, а в високосном году 5 месяцев с 5-ю пятницами будет и в том случае, если год начинается с пятницы и если он начинается с четверга.

Скрыть решение