Занимательные задачи по математике

Задачи, несомненно, способствуют развитию смекалки и сообразительности. Каждодневное стремление развитого человека к познанию объясняет тот факт, что занимательная математическая задача доставляет не меньшее удовольствие, чем остроумный анекдот. Каждый день появляется много прекрасных математических задач с новыми идеями, требующими для решения нестандартного подхода сообразительности.

Это связано и с развитием самой математики, и с увеличивающимся интересом к задачам математических олимпиад разного уровня — от школьных до международных. Много задач сочиняется ежегодно для вступительных экзаменов в вузы. Однако среди них редко можно встретить занимательную задачу, требующую для решения свежей, нестандартной идеи. В подавляющем большинстве случаев это чисто «технические» задачи. Поэтому человек, который знаком лишь с задачами для вступительных экзаменов, получит удовольствие отзанимательных математических задач, собранных в этом разделе.

	Простые	Сложные	Трудные

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Занимательная задача по математике: Загадочная фраза

Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной. «В этой фразе участвуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, причем
цифра 0 —... раз,
цифра 1 —... раз,
цифра 2 — ... раз,
цифра 3 — ... раз,
цифра 4 —... раз,
цифра 5 —... раз,
цифра 6 —... раз,
цифра 7 —... раз,
цифра 8 —... раз,
цифра 9 —... раз».

Показать решение

Занимательная задача по математике: Замечательная последовательность

Какое число нужно поставить вместо знака * в последовательности: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24,31, 100, *, 10000?

Показать решение

Занимательная задача по математике: Знакомства

В математическом кружке принимают участие 100 школьников. Известно, что среди любых четырех участников кружка всегда найдется по меньшей мере один, знакомый с остальными тремя. Докажите, что существует участник кружка, знакомый со всеми остальными 99 школьниками. Каким может быть число школьников, знакомых со всеми остальными?

Показать решение

Возьмем произвольного участника А. Если A знаком со всеми остальными 99 школьниками, то утверждение доказано. Будем поэтому считать, что А не знаком с некоторым участником Б. Рассмотрим некоторого школьника С. Если С знаком со всеми участниками кружка, то утверждение доказано. Поэтому будем считать, что С не знаком с некоторым участником кружка. Пусть С не знаком со школьником D. Тогда среди четырех участников А, Б, С и D кружка ни один не знаком со всеми остальными тремя. Получили противоречие. Если же С не знаком с одним из школьников А или Б, для определенности с А, то из доказанного выше следует, что С знаком со всеми остальными участниками кружка и любые двое из школьников, исключая А и Б, знакомы друг с другом. Возьмем школьника О. В четверке Л, Б, С и D один знаком с остальными тремя, но А, В и С таким свойством не обладают, значит, это школьник D. Поскольку таких школьников 97, то значит, что всегда найдутся 97 школьников, знакомых со всеми остальными. С другой стороны ясно, что таких школьников может быть 97. Итак, наименьшее количество школьников, знакомых со всеми остальными, равно 97.

Скрыть решение

Занимательная задача по математике: Игра в 3 фишки

На трех крайних справа полях доски 1•n стоят фишки. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди берет одну из фишек и переставляет ее влево на одно из свободных полей. Проигрывает тот, кому в свою очередь невозможно сделать ход (т.е. фишки уже стоят на трех крайних слева полях). Кто выигрывает в этой игре — начинающий или делающий ход вторым?

Показать решение

Занимательная задача по математике: Инфляция

Месяц назад я купил на базаре 1 кг картошки, 1 л молока и 10 яиц. В прошлое воскресенье картошка стала дороже в 3 раза, молоко — в 4, яйца — в 5 раз, и мне пришлось заплатить за ту же покупку 60 руб. Сегодня картошка стоит уже в 6 раз дороже, чем месяц назад, молоко — в 5 раз, а яйца лишь в 4 раза, и я заплатил за ту же покупку 66 руб. Сколько денег я уплатил в первый раз?

Показать решение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18