Занимательные задачи по математике

Задачи, несомненно, способствуют развитию смекалки и сообразительности. Каждодневное стремление развитого человека к познанию объясняет тот факт, что занимательная математическая задача доставляет не меньшее удовольствие, чем остроумный анекдот. Каждый день появляется много прекрасных математических задач с новыми идеями, требующими для решения нестандартного подхода сообразительности.

Это связано и с развитием самой математики, и с увеличивающимся интересом к задачам математических олимпиад разного уровня — от школьных до международных. Много задач сочиняется ежегодно для вступительных экзаменов в вузы. Однако среди них редко можно встретить занимательную задачу, требующую для решения свежей, нестандартной идеи. В подавляющем большинстве случаев это чисто «технические» задачи. Поэтому человек, который знаком лишь с задачами для вступительных экзаменов, получит удовольствие отзанимательных математических задач, собранных в этом разделе.

	Простые	Сложные	Трудные

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Занимательная задача по математике: Удивительное число

Из 10 различных цифр составьте десятизначное число, такое, что число из его первых 2-х цифр делится на 2, из 3-х первых цифр — на 3 и т.д. до того, что само число делится на 10.

Показать решение

Сначала заметим, что это число должно оканчиваться на 0, на четных местах должны стоять четные цифры, а на нечетных — нечетные (счет ведем с начала числа). На пятом месте должно стоять число 5. Отметим важный для нас факт, что если число делится на 4, а предпоследняя цифра нечетная, то последняя цифра либо 2, либо 6. Отсюда следует, что на четвертом и восьмом местах могут стоять только цифры 2 и 6. Суммируя сказанное, получаем два предварительных варианта для искомого числа: ***25*6*0 и ***65**2*0. Теперь обратимся к признаку делимости на 3. Из него следует, что в условиях нашей задачи сумма первых трех цифр делится на 3, сумма следующих трех цифр также делится на 3, как и сумма цифр третьей тройки. Теперь заметим, что во второй тройке нам неизвестно лишь одно число в каждом варианте и оно четно. Очевидно, что в первой тройке — это 8, а во второй — 4. Осталось незанятым лишь одно четное место в каждом варианте и оно должно заняться последней оставшейся цифрой. Наши варианты приобретают вид: *4*258*6*0 и *8*654*2*0. Из десяти цифр мы уже расставили шесть, остались четыре нечетные цифры: 1,3,7 и 9. Чтобы в первом варианте сумма трех первых цифр делилась на 3, на первом и третьем местах должны стоять цифры 1 и 7. Тогда на седьмом и десятом местах будут стоять цифры 3 и 9. Осталось воспользоваться признаком делимости на 8: число, составленное из трех последних цифр, должно делиться на 8, чтобы само число делилось на 8. В первом варианте это приводит к тому, что 7-я цифра 3, а во втором, что 7-я цифра 3 или 7. Таким образом в первом варианте остаются для дальнейшего рассмотрения случаи:
1472589630 и 7412589630. Во втором варианте случаев больше — их 8: 1836547290, 3816547290, 1896547230, 9816547230, 1896543270, 9816543270. 7986543210 и 987654321. Осталось проверить у этих десяти чисел делимость на 7 числа, образованного семью первыми цифрами. Эту проверку выдерживает только одно из них — 3816547290.

Скрыть решение

Занимательная задача по математике: Укладка домино

Существуют шахматные доски, снабженные бортиком для того, чтобы фигуры не падали с доски при игре в поезде. Попробуйте разместить на такой доске комплект из 28 костей домино, каждая кость которого занимает ровно 2 клетки, так, чтобы ни одну из костей нельзя было сдвинуть в плоскости доски.

Показать решение

Занимательная задача по математике: Уникальный язык

В языке племени Ододо всего два звука: «Д» и «О». Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи следующих операций: исключения идущих подряд звуков ДО или ООДД и добавления в любое место сочетания ОД. Означают ли слова ОДД и ДОО одно и то же?

Показать решение

Занимательная задача по математике: Факториалы

Факториалом числа (обозначается !) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до п. Например, 3! = 1 • 2 • 3 = 6; 5! =1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Найдите два семизначных числа, такие, что их сумма является факториалом некоторого числа, их разность и сумма цифр одного из этих чисел также являются факториалами.

Показать решение

Занимательная задача по математике: Фигуры на доске

На шахматной доске расставлено 15 фигур так, что в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. Докажите, что с доски можно так убрать одну фигуру, что оставшиеся фигуры будут вновь удовлетворять тому же требованию: в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура.

Показать решение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18