Занимательные задачи по математике

Пусть было n команд и команда, набравшая наибольшее число очков, победила к команд. Эти команды, играя между собой, провели к(к -1 )/2 игр. при этом было столько же побед. Некоторые из них могли выиграть и у других команд, поэтому общее число их побед не меньше указанного числа, следовательно, k больше или равно к(k-1)/2, откуда к^2 - Зк меньше или равно 0. Поэтому к меньше или равно 3. При к = 3 рассмотренная команда и все три побежденные ею должны проиграть остальным командам, т.е. те имеют не меньше, чем по 4 победы, что противоречит предположению о первоначальной команде. Следовательно, случай к = 3 может осуществиться лишь в турнире четырех команд, когда одна команда выиграла у остальных, вторая — у третьей, третья — у четвертой и четвертая — у второй. При к = 2 команд не больше пяти, причем в случае пяти команд они все должны набрать по 2 очка, но тогда команды, побежденные фиксированной командой, набирают в сумме 4 очка. Противо- речие. При четырех командах команда, не входящая в состав группы их выбранной команды и 2-х, побежденных ею, набирает не меньше 2-х очков. Такая ситуация реализуется, если первая команда выиграла у третьей и четвертой, вторая — у первой и четвертой, третья — у второй и четвертой, т.е. четвертая команда проиграла всем. При к = 1 команд не больше трех, и для трех команд этот случай реализуется в турнире из второй, третьей и четвертой команд, рассмотренный в ситуации п = 4, к = 3. Меньше трех команд, а именно 2 команды быть не может, так как побежденная команда не набирает ни одного очка

Скрыть решение

Рассмотрим следующую процедуру: отметим один из томов и начнем переставлять тома из конца в начало до тех пор, пока отмеченный том не окажется на 3-м месте, после этого поставим его на 1 -е место и вновь дважды переставим тома из конца в начало, чтобы отмеченный том оказался на 3-м месте, вновь его переставим в начало, и т.д. Легко проверить, что при продолжении этой процедуры он последовательно побывает за каждым из остальных томов. Таким образом, мы можем поставить 2-й том за 1-м, потом 3-й за 2-м, не меняя последовательности 1-го и 2-го томов, и так все 8 томов. Осталось лишь переставлять тома из конца в начало до тех пор, пока на первом месте не окажется 1-й том.

Скрыть решение

Из условия следует, что если А и В — друзья, то любой из остальных либо их общий друг, либо общий враг, иначе им троим не примириться. Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями. Действительно, пусть А первым поссорился с друзьями и помирился с врагами, но тогда каждый из его бывших друзей помирится с ним. а бывшие враги станут друзьями А и, следовательно, друзьями между собой.

Скрыть решение

Сначала разделим крупу на две равные части по 4 кг 500 г (первое взвешивание) , затем одну из частей вновь на две равные части по 2 кг 250 г (второе взвешивание) и третьим взвешиванием забираем из такой части 250 г., воспользовавшись гирями, оставив требуемые 2 кг. Если же есть лишь гиря в 200 г, то при первом взвешивании положим ее на одну из чашек весов, тогда после уравновешивания на ней окажется 4 кг 400 г, а на другой — 4 кг 600 г. Разделив вторым взвешиванием часть с 4,4 кг крупы пополам, получим 2 части по 2,2 кг, после чего третьим взвешиванием убираем из одной части лишние 200 г, второй раз использовав гирю.

Скрыть решение

Сначала убедимся, что пятые степени чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 оканчиваются вновь на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Отсюда следует, что то же свойство имеют девятые степени, тринадцатые степени и вообще 4к + 1 степени чисел,

Скрыть решение