Занимательные задачи по математике

Сначала отметим, что написано не более одного верного утверждения, поскольку любые два друг другу противоречат и, следовательно, не могут быть одновременно верными. Все утверждения не могут быть неверными, поскольку тогда последнее утверждение окажется верным вопреки сделанному нами предположению. Итак, верно лишь одно утверждение, а именно, 99-е, которое утверждает, что неверно 99 утверждений, а верно одно — оно само.

Скрыть решение

Будем различать 2 случая: первый — все стороны плота не больше Н, ширины канала, второй — одна пара сторон больше Н. Ясно, что обе пары сторон не могут быть больше Н. В первом случае площадь плота не превосходит H^2. Квадратный плот можно провести через прямоугольный поворот, совершив 2 параллельных переноса. Во втором случае плот нужно повернуть на 90*. В некоторый момент его стороны образуют угол в 45* с берегами . При этом он должен уместиться в равнобедренном треугольнике. Легко усмотреть, что плот максимальной площади должен одной из сторон лежать на гипотенузе, а вершины, лежащие на другой стороне, должны находиться на катетах треугольника, длины которых равны по 2Н. Если обозначить через х высоту плота, то его основание равно 2H*sqrt(2)-2х , поскольку гипотенуза треугольника равна 2H*sqrt(2) Площадь плота равна х(2Н*sqrt(2)-2х) = Н^2-2(H/sqrt(2)-х)^2. Это выражение максимально при х = H/sqrt(2), и в этом случае мы вновь получаем в качестве наибольшей площади Н^2. Такой плот может быть проведен через поворот следующим образом: установим его у поворота так, чтобы одна из больших его сторон упиралась своей серединой в вершину выступающего угла канала, и повернем плот вокруг вершин на 90*. Это можно сделать, поскольку расстояние любой его точки от середины большой стороны не превосходит расстояния от середины стороны до вершины противоположной стороны, которое равно Н.

Скрыть решение

Пусть сначала числа а, Ь, с взаимно просты. Покажем, что в этом случае число abc является полным квадратом. Пусть р — простое число и с делится на р^n, тогда из равенства - ab = с(а + Ь) следует, что одно из чисел а и b делится на р^n, а второе не делится на р, значит abc делится на р^(2n). Аналогично рассуждая про делители чисел а и Ь, получаем, что любое простое число входит в произведение abc в четной степени. Если у чисел a, b и с есть общий делитель, то он входит в произведение в кубе.

Скрыть решение

Обозначим количество соревнований через n и через D сумму А + В + С. Поскольку общее количество набранных очков равно 40, то nD = 40, числа n и D являются делителями числа 40, но D не меньше 6, поэтому D может принимать только значения 8, 10 и 20, соответственно n будет принимать значения 5, 4 и 2. Случай n = 2 невозможен, поскольку А не больше 9 и за 2 состязания К не сможет получить 22 очка. Пусть п = 4 и О = 10, тогда А й 7, а так как К получил в 4-х соревнованиях 22 очка, то А >5. Если Д= 7: то Е получил не меньше, чем 7+1 + 1 + 1 = 10 очков. Получили противоречие. Если же А = 6, то В ? 3 и К получил не более 6-3 + 1 -3 = 21 очков. Противоречие. Остался случай п = 5, D = 8. Здесь A ? 5, но так как К получил 22 очка, то А ? 5, следовательно, А = 5, В = 2, С = 1. В соревнованиях на быстроту реакции Е получил 5 очков, значит, в остальных соревнованиях он занял 3-е место. К в соревнованиях на быстроту реакции получил не более 2 очков, значит, в остальных соревнованиях он получил по 5 очков. Таким образом, Ф был третьим в этих соревнованиях и вторым во всех остальных, в частности и в соревнованиях на выносливость.

Скрыть решение

Количество вариантов покупки кота и мешка равняется 20 • 20 = 400, а количество вариантов цены меняется от 12 руб. 30 коп. до 16 руб., т.е. равно 371. Значит, найдутся две покупки, имеющие одинаковую цену. Осталось заметить, что эти покупки не могут включать в себя одного и того же кота или один и тот же мешок.

Скрыть решение